viernes, 21 de mayo de 2010

Puntos criticos, maximos y minimos


“Llamaremos número crítico a cualquier argumento c del dominio de la función f, tal que f '(c) = 0. Así, los máximos y mínimos locales tendrán siempre como abscisa un número crítico. Por otra parte, si c es un número crítico para f, entonces el punto (c, f(c)) será llamado punto crítico de f.
  
Ejemplo 1.- Cuales son los números críticos de la función  

f (x) = x3 + 3x2 –9x + 3  

y cuales son sus puntos críticos. 

Números Críticos                                                                
f(x) = x3 + 3x2 –9x + 3
f'(x) = 3x2 + 6x –9                                                       
f'(x) = 0
3x2 + 6x –9 = 0           
 x2 + 2x – 3 = 0                                                                                           
(x + 3) (x –1) = 0    

Puntos críticos
Si  x = -3
f(-3) = (-3)3+3(-3)2–9(-3)+3
         =-27+27+27+3=30                                                (-3, 30)
 Si x = 1
 f(1) = (1) + 3(1) –9(1) + 3 = 1 + 3 –9  +3 =-2
                (1, -2)
    

          
Ejemplo 1.- Cuales son los números críticos de la función f (x) = x3 + 3x2 –9x + 3 y cuales son sus puntos críticos.           
Máximos y Mínimos (Criterio de la Primera Derivada).



Las palabras máximo y mínimo, pertenecen a un lenguaje habitual y los usamos generalmente cuando deseamos expresar, lo más grande o lo más pequeño de la cantidad comparada. Este es el mismo significado que toma en el cálculo. “Para cada función es posible establecer comparaciones entre las imágenes, en un intervalo dado, y de acuerdo a la medida conocer la mayor imagen y desde luego, al menor. Estos serán llamados extremos de la función, o de manera más específica, máximo y mínimo respectivamente”.
como se observa en la imagen, esta el punto minimo

Si la derivada pasa de positiva a negativa, entonces, el punto crítico corresponde a un máximo relativo; y si la derivada pasa de negativa a positiva, el punto crítico corresponde a un mínimo relativo.










puntos criticos maximos, y minimos

jueves, 20 de mayo de 2010

La línea normal

La recta normal a una curva en un punto de tangencia dado, es una recta perpendicular a la tangente de dicho punto.
Para determinar la pendiente de una línea normal se utiliza la fórmula:

m= -1 / f'(x)


Caso 1.



Determina la ecuación de la línea normal a la función:

F(x)= x2 - 4x + 5 en el punto x=3


1. Sustituir "x" en la ecuación de la curva para determinar "y".


f(x)= (3)2 - 4(3) + 5
f(x)= 9 - 12 + 5
y= 2


2. Derivar la función.

f(x)= x2 - 4x + 5
f'(x)= 2x - 4


3. Determinar la pendiente m= -1 / f'(x).


m= - 1/ 2x - 4
m= - 1/2(3) - 4
m= -1/2
m= -.5


4. Sustituir la ecuación en la forma punto pendiente.

y-y1= m(x-x1)
y-2= -.5(x-3)
y-2=-.5x + 1.5
y= -.5x + 1.5 + 2
y= -.5x + 3.5

martes, 18 de mayo de 2010

La Linea Tangente

Si una función es derivable en un punto P1(x1,y1) entonces la gráfica de la función tiene una tangente de dicho punto, cuya pendiente es:


m1= f'(x1)

La línea tangente es la recta que toca un punto de la curva, Punto de tangencia es el punto en comú de la curva y de la línea tangente.


Caso 1.

Es cuando se nos presentan 3 datos; la función, el punto "x" y el punto "y".

ejemplo:

f(x)= 4x2 + 9x + 4 p.p.(3,6)


1. Derivar la función

f(x)= 8x3 + 9x + 4


f'(x)= 12x + 9



2. Sustituir el punto "x" en la función derivada.

f(3)= 12x + 9
f(3)= 12(2) + 9
f(3)= 24 + 9
m= 33


3. Sustituir el punto tangencia en la ecuación punto pendiente.

y-y1= m(x-x1)
y -6= 33(x-3)
y -6= 33x - 99 + 6
y= 33x - 93



Caso 2.

En los ejercicios para determinar la línea tangente de una función derivada en los que nos aparten sólo 2 datos se explica asi.


Ejemplo.


Encuentra la ecuación de la línea tangente en el valor "x" dado.

f(x)= 2x2 - 2x + 4 en x=3


1. Se sustituye "x" en la función.


f(3)= 2(3)2 - 2(3) + 4
f(3)= 18 - 6 + 4
y= 16


2. Derivamos la función.

f(x)= 2x2 - 2x + 4
f'(x)= 4x - 2


3. Sustituimos "x" en la función derivada.


f'(3)= 4(3) - 2
f'(3)= 12 - 2
m= 10


4. Sustituimos el punto tangencia en la ecuación punto pendiente.


y-y1= m(x-x1)
y- 16 = 10(x-3)
y= 10x -30 +16
y= 10x - 14

Reglas básicas de la derivación (regla de la cadena)

9.- Regla de la cadena
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevado a una potencia como por ejemplo:


F(x)= (2x3 + 3)5


La regla de la cadena es:


Si “u” es el polinomio la función:


F(x)= u n


Su derivada es:


F´(x)= n(u)n-1(u´)

Reglas básicas de la derivación ( regla del cociente)

Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la división de polinomios, como por ejemplo:


F(x)= 2x3 + 3
         3x4 - 5

Si “u” y “v” son los polinomios:
La función:

F(x)= u
         v
Su derivada:


F´(x)= u´v-uv´
             v2

Reglas básicas de la derivación (regla del producto)

7.- Regla de producto
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la multiplicación de polinomios, como por ejemplo: F(x)= (2x3 + 3)(3x4 – 5); si la regla de producto es:
Si “u” y “v” son los polinomios:



La función: F(x)= uv
Su derivada: F´(x)= u´v + uv´

Reglas básicas de la derivación ( II )

6.- Para una suma de funciones:


Si F(x) = u(x) + v(x)
Su derivada es:
F´(x)=u´(x) + v´(x)



En ocasiones no es fácil transformar una función a la forma f(x) = a xn, por lo que en estos casos no podrías encontrar la derivada siguiendo la regla mencionada anteriormente. Cuando ocurra esto puedes emplear otras reglas de la derivación entre las cuales están las siguientes. Sin embargo se debe aclarar que no son las únicas reglas, existen otras más que verás en tus cursos posteriores de cálculo



Ejemplo:

Si F(x)= 3x + 4x
Su derivada es:
F´(x)= 6x2 + 4

Reglas básicas de la derivación

1.-Para una constante “a”:

Si F(x) = a
su derivada es
F´(x)= 0


2.- Para la función identidad F(x)= x

Si F(x)= x
Su derivada es:
F´(x)=1
3.- Para una constante “a” por una variable “x”:

Si F(x)= ax
Su derivada es:
F´(x)= a

4.- Para una variable “x” elevada a una potencia “n”:

Si F(x)= xn
Su derivada es:
F´(x)= n xn-1
5.- Para una constante “a” por una variable “x” elevada a una potencia “n”:

Si F(x)= a xn
Su derivada es:
F´(x)= an xn-1

La derivada

El concepto de la derivada surge al asociar una línea recta con una línea curva, líneas que tienen en comun dos puntos